原点を通る3次関数の接線の式を代数的に求めてみる
3次関数の接線に関する問題は、接点の座標を使って接線の関数を立て、
その接線が3次関数上にない決められた点を通るので…という流れで解くのがセオリーです。
微分を用いた、いわゆる「逆手流」の解き方ですね。
3次関数の接線が点を通るときの、
接線の式を求めよ、という問題は、
接点の座標をと置くことで、接線の式を
と表せるので、
これが点を通るということは、
が成り立つので…という流れで、
接点の座標をを求め、そこから接線の方程式を求める、
という方法です。
点がたとえ原点、つまり点であっても同様であり、
某有名予備校の某講師曰く、
「ここ(=点)が原点だとぉ、誘惑に負けて
なんて置いちゃう輩がいるけど、駄目だよぉ!」
というやつです。
じゃぁこれを敢えてと置いて解こうとするとどうなるのか、
ちょっとやってみようと思います。
カルダノ=タリタリアの公式
カルダノ=タリタリアの公式(単にカルダノの公式とも)とは、
3次方程式の解の公式です。
中学・高校で、2次方程式の解の公式
を習いましたが、これの3次方程式バージョンです。
この公式自体については、他の書籍やWebサイトに譲りますが、
導出までの手順としては、
- 3次方程式を立体完成する
- と書き換える
- 更にで置き換える
- 書き換えた、の式は、の恒等式であることを利用して、、の値を求める
- 2次方程式の解と係数の関係を用いて、、の値を求める
- ととの関係に注意して、3つの、の組を求める
- ここからの値を算出し、最後にの値を算出する
という流れです。
今回は、この流れを途中まで利用して、
先の問題、「接線の式を敢えてと置いて解いてみる」をやってみます。
方針
接線が3次関数と接しているということは、
これを連立させることで得られる3次方程式が
重解を持っているということになります。
ところで、2次以上の方程式が複素数を解に持っている場合、
その共役の複素数も解であるという決まりがありますから、
3次方程式が重解を持っている、という時点で
- その重解は実数である
- 残りの解も実数である
ことが判明し、3つの実数解(うち2つは重解)を持っていると言うことができます。
このこと踏まえて、先ほどのカルダノ=タルタリアの公式の流れを進むと、
5.の「、を求める」タイミングで、これが重解である必要が出てきます。
これを使って、の値を求めます。
例題
例題として、次の問題を解いてみます。
3次関数の接線が原点を通るとき、この接線の関数を求めよ
普通に導関数を用いて答えを求めると、
(過程は省略しますが)、が正解です。
回答
3次関数の接線として、軸に平行なものは存在しないので、
原点を通る直線の関数は実数を用いてと置ける。
これが3次関数に接しているので、
この2式を連立させを消去することで得られる
3次方程式が実数の重解を持つことになる。
ここで、この3次方程式を以下のように変形する:
ここでと置くと、
となり、
このの3次方程式が実数の重解を持つこととなる。
更に、と置く。
すると、この3次方程式の解の一つの値に対して、自由にを定めることができ、
それに対応してが定まることになる。
すなわち、で置き換えた
は、、の恒等式である。
上式を変形すると、
となるが、
式中のについて、
1)の場合
であるので、この式はとなる。
なお、この時、であるから、
重解を持つとした3次方程式に代入すると、こちらもとなり矛盾がない。
2)の場合
が、の恒等式であるので、
i.e.
が成り立つ。
従って、、は、
の2次方程式の解である。
この解を、、とすると、
(と定義する、これは1以外の1の3乗根2つの内の1つでありを満たす。)
となるが、が成立する必要があるので、
1つのについて、1つのが対応することになる。
具体的には、は実数である必要があるので、3つの、の組、
が解となる。
ところで、の3次方程式が実数の重解を持つということは、
上記3つの組から算出した3つのの値の内、2つが同一であることを意味する。
つまり、、が成り立つ必要があるので、
、を解とするの2次方程式の解も
重解であることになる。
この2次方程式の判別式をとすれば、
となる。
このの3次方程式を解くと、
となる。
1), 2)より、であるから、
求める接線の関数は、
、となる。
感想
これは、普通に接線の公式を使った方がいいわ。
なんて置いちゃう輩の末路はこうなるということです。
補足
ちなみに、実は3次方程式にも解の公式というのは存在します。
()の時、
判別式は
となります。
この時、
:異なる3つの実数解を持つ
:重解を持つ(2重解or3重解はわからない)
:1つの実数解と2つの虚数解を持つ
となります。