Σa^2≧((Σa)^2)/nの証明

 n個の実数 a_1 a_2、…、 a_nがあるとき、
 \displaystyle \sum_{i=1}^n a_i^2 \geq \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^2
が成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明する。

1)  n=1の場合
 \displaystyle \sum_{i=1}^1 a_i^2 = a_1^2
また、
 \displaystyle \frac{1}{1} \left( \sum_{i=1}^1 a_i \right)^2 = \left( a_1 \right)^2 = a_1^2
よって、 k=1のとき、与えられた不等式は成り立つ。(常に等号成立)

2)  n=kの場合に、与えられた不等式が成り立つと仮定する。すなわち、
 \displaystyle \sum_{i=1}^k a_i^2 \geq \frac{1}{k} \left( \sum_{i=1}^k a_i \right)^2
が成り立つと仮定する。

このとき、
 \displaystyle \sum_{i=1}^{k+1} a_i^2
 \displaystyle = \sum_{i=1}^{k} a_i^2 + a_{k+1}^2
 \displaystyle \geq \frac{1}{k} \left( \sum_{i=1}^k a_i \right)^2 + a_{k+1}^2…①

ところで、 k \geq 1について、
 \displaystyle \frac{1}{k} = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k(k+1)}
が成り立つので、
 \displaystyle = \frac{1}{k+1} \left( \sum_{i=1}^k a_i \right)^2 + \frac{1}{k(k+1)} \left( \sum_{i=1}^k a_i \right)^2 + a_{k+1}^2…②
となる。

また、
 \displaystyle \frac{1}{k+1} \left( \sum_{i=1}^{k+1} a_i \right)^2
 \displaystyle = \frac{1}{k+1} \left( \sum_{i=1}^{k} a_i + a_{k+1} \right)^2
 \displaystyle = \frac{1}{k+1} \left( \sum_{i=1}^{k} a_i \right)^2 + \frac{2}{k+1} \left( \sum_{i=1}^{k} a_i \right) a_{k+1} + \frac{1}{k+1}a_{k+1}^2
なので、
 \displaystyle = \frac{1}{k+1} \left( \sum_{i=1}^{k+1} a_i \right)^2 + \frac{1}{k(k+1)} \left( \sum_{i=1}^k a_i \right)^2 + a_{k+1}^2
    \displaystyle - \frac{2}{k+1} \left( \sum_{i=1}^{k} a_i \right) a_{k+1} - \frac{1}{k+1}a_{k+1}^2
 \displaystyle = \frac{1}{k+1} \left( \sum_{i=1}^{k+1} a_i \right)^2 + \frac{1}{k(k+1)} \left( \sum_{i=1}^k a_i \right)^2  - \frac{2}{k+1} \left( \sum_{i=1}^{k} a_i \right) a_{k+1} + \frac{k}{k+1}a_{k+1}^2
 \displaystyle = \frac{1}{k+1} \left( \sum_{i=1}^{k+1} a_i \right)^2 + \frac{1}{k(k+1)} \left\{ \left( \sum_{i=1}^k a_i \right)^2  - 2k \left( \sum_{i=1}^{k} a_i \right) a_{k+1} + k^2 a_{k+1}^2 \right\}
 \displaystyle = \frac{1}{k+1} \left( \sum_{i=1}^{k+1} a_i \right)^2 + \frac{1}{k(k+1)} \left( \sum_{i=1}^k a_i - k a_{k+1} \right)^2
 \displaystyle \geq \frac{1}{k+1} \left( \sum_{i=1}^{k+1} a_i \right)^2
ゆえに、
 \displaystyle \sum_{i=1}^{k+1} a_i^2 \geq \frac{1}{k+1} \left( \sum_{i=1}^{k+1} a_i \right)^2が成り立ち、
 n=k+1のときも、与えられた不等式が成り立つ。

なお、等号成立条件は、
 \displaystyle \sum_{i=1}^k a_i = k a_{k+1}
のとき。すなわち、
 a_{k+1}が、 a_1から a_kまでの平均と等しいときである。


1)、2)より、数学的帰納法により、すべての自然数 nについて、
 \displaystyle \sum_{i=1}^n a_i^2 \geq \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^2
は成り立つ。

等号成立条件は、 n-1以下のすべての自然数 kにおいて、
 a_{k+1}が、 a_1から a_kまでの平均と等しいときである。
これは、 k=1のときに
 a_2 a_1から a_1までの平均と等しい、すなわち、
 a_2 = a_1であることから、
 a_1 = a_2 = \cdots = a_n
を意味する。