Σa^2≧((Σa)^2)/nの証明
個の実数、、…、があるとき、
が成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明する。
1) の場合
また、
よって、のとき、与えられた不等式は成り立つ。(常に等号成立)
2) の場合に、与えられた不等式が成り立つと仮定する。すなわち、
が成り立つと仮定する。
このとき、
…①
ところで、について、
が成り立つので、
①…②
となる。
また、
なので、
②
ゆえに、
が成り立ち、
のときも、与えられた不等式が成り立つ。
なお、等号成立条件は、
のとき。すなわち、
が、からまでの平均と等しいときである。
1)、2)より、数学的帰納法により、すべての自然数について、
は成り立つ。
等号成立条件は、以下のすべての自然数において、
が、からまでの平均と等しいときである。
これは、のときに
がからまでの平均と等しい、すなわち、
であることから、
を意味する。